[게임수학] 벡터: 가상 공간의 탄생

 

벡터(Vector)란 평면에서 시각적으로 의미 있는 물체를 생성하기 위해 평면을 구성하는 원소입니다.

 

데카르트 좌표계

데카르트 좌표계(Cartesian coordinate syste) : 직선의 수 집합을 수직으로 배치하여 평면을 표기하는 방식

데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표현하며 좌표(Coordinate)라고 부릅니다. (x, y)

 

벡터 공간과 벡터

1. 스칼라와 벡터

벡터 공간(Vector Space) : 두 개 이상의 실수를 곱 집합으로 묶어 형성된 집합

벡터(Vector) : 벡터 공간의 원소

좌표값으로 사용하는 x와 y를 실수로 규정하기보단 체의 구조를 가지는 집합, 즉 체집합의 원소로 규정합니다. 이렇게 체의 구조를 가지는 수 집합의 원소를 스칼라(Scalar)라고 부릅니다.

벡터 공간을 표기할 때에는 대문자 V를 사용하고 이의 원소인 벡터는 소문자 v로 표기합니다.

$\vec{v} = (x, y)$

 

2. 벡터 공간의 연산

공리적 집합론의 관점에서 정의된 벡터 공간은 두 가지 기본 연산이 존재합니다. 다음의 수식에서 사용되는 수 a,x,y는 모두 체 집합의 원소인 스칼라입니다.

벡터와 벡터의 덧셈 (벡터의 합)

$\vec{v_1}+\vec{v_2}=(x_1, y_1)+(x_2, y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2)$

스칼라와 벡터의 곱셈 (스칼라 곱셈)

$a\cdot\vec{v}=a\cdot(x, y)=(a{\cdot}x,a{\cdot }y)$

 

체가 갖는 연산의 성질에 기반해서 벡터 공간의 연산이 갖는 성질은 다음과 같이 8가지로 정리됩니다. 이를 벡터 공간의 공리라고 합니다.

No	분류	공리	수식
1	벡터의 합	벡터의 합의 결합법칙	u + (v + w) = (u + v) + w
2		벡터의 합의 교환법칙	u + v = v + u
3		벡터의 합의 항등원	v + 0 = v
4		벡터의 합의 역원	v + (-v) = 0
5	스칼라 곱셈	스칼라 곱셈의 호환성	a(bv) = (ab)v
6		스칼라 곱셈의 항등원	1 · v = v
7		벡터의 합에 대한 분배법칙	a(u + v) = au + av
8		스칼라 합에 대한 분배법칙	(a + b)v = av + bv

 

 

3. 벡터의 크기와 이동

벡터 v의 크기는 원점으로 부터의 거리를 의미하며 절댓값 기호 ∣v∣ 를 사용해 구할 수 있습니다.

$|v| = \sqrt{\mathstrut {x^2+y^2}}$

 

단위 벡터(unit vector) : 크기가 1인 벡터

단위 벡터는 벡터의 크기를 측정하는 기준이 되며 $\widehat{v}$ 의 형태로 표시됩니다.

스칼라 곱셈의 성질을 이용해서 임의의 벡터 $\vec{v}$ 를 이의 크기인 |$\vec{v}$|로 나누면 단위 벡터를 얻을 수 있습니다.

임의의 벡터 $\vec{v}$ 를 크기가 1인 단위벡터 $\widehat{v}$ 로 다듬는 작업을 정규화(Normalize)한다 라고 부릅니다.

$\widehat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

 

벡터의 결합과 생성

벡터 공간의 벡터의 합과 스칼라 곱셈 연산은 선형성이 있어 선형 연산이라고도 합니다. 선형 연산을 사용해 n개의 스칼라와 n개의 벡터를 결합해 새로운 벡터 v 를 생성하는 수식을 선형 결합(Linear combination)이라고 합니다.

a1·V1 + a2·V2 + a3·V3 + ... + an·Vn = V'

벡터에 곱하는 모든 스칼라 값이 0이면 선형 결합의 결과는 항상 영벡터가 됩니다. 이때 선형 결합에 사용된 벡터들은 서로 ‘선형 독립의 관계’를 가진다고 표현합니다.

0·(1, 2) + 0·(2, 1) = (0, 0)

그런데 값이 0이 아닌 경우에도 영벡터는 나올 수 있습니다. 이런 경우 ‘선형 종속의 관계’를 가진다고 표현합니다.

2·(1, 1) + (-1)·(2, 2) = (0, 0)

두 벡터가 선형 독립의 관계를 가진다면 선형 결합식으로 2차원 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있습니다.

 

벡터 (2, 1)과 (1, 3)은 서로 선형 독립의 관계를 가집니다.

 

다른 두 벡터 (1, 2)와 (2, 4)를 결합할 경우

두 벡터 (1, 2)와 (2, 4)는 평행하지만 (5, 5)와는 서로 평행하지 않습니다. 두 벡터는 선형 종속의 관계를 가집니다.

이로써 평면의 모든 점을 생성하기 위한 선형 결합식에는 서로 평행하지 않은 2개의 벡터가 필요함을 알 수 있으며 두 벡터는 서로 선형 독립의 관계를 가져야 함을 확인 할 수 있었습니다.

선형 독립의 관계가 유지되려면 2개의 벡터만 사용되어야 합니다.

 

벡터 공간내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립관계를 가지는 벡터의 집합을 기저(Basis)라고 합니다. 집합의 개념인 기저에 속한 원소를 기저 벡터(Basis Vector)라고 합니다.

기저 벡터를 다른 값으로 변경하면 기저 벡터로 부터 세워진 벡터 공간의 모든 원소가 바뀐다고 볼 수 있는데, 이는 선형변환의 기본 원리가 됩니다.

또한 기저의 개념은 차원(Demension)이라는 새로운 용어를 정의하는데 사용됩니다. 평면으로 구성된 벡터 공간을 생성하기 위한 기저 집합의 원소 수는 언제나 2개 뿐입니다. 따라서 평면에 대응하는 벡터 공간을 비로소 2차원으로 정의할 수 있게 되었습니다.

한 축만 사용하는 단위 벡터 (1,0) , (0,1) 로 구성된 집합을 표준기저(Standard basis)라고 하며 기저의 각 원소를 표준기저벡터(Standard basis vector)라고 합니다.

표준 기저 벡터는 순서대로 $e_1, e_2$로 표기합니다.

$e_1 = (1, 0)$

$e_2 = (0, 1)$

 

 

출처 : 이득우의 게임수학, 

https://walll4542developer.github.io/math/Numbers-and-Set/