[게임수학] 수: 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위

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이득우의 게임 수학 - 예스24

이득우의 게임 수학을 읽으면서 중요하다고 생각하는 부분들을 정리한 글입니다.

 

수와 집합

집합(Set)은 서로 구분되는 원소(Element)로 구성된 묶음으로 이를 소박한 집합론(Naive set theory)이라고 합니다.

자연수(N) 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합

정수(Z)	자연수와 자연수의 음수, 0을 포함하는 수의 집합
유리수(Q)	분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합
무리수(I)	두 정수 비 혹은 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합
실수(R)	유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합
복소수(C)	실수와 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 조합해 a+bi (a, b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합
사원수(H)	실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 i, j, k 를 조합해 a+bi+cj+dk (a, b, c, d는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합

 

1. 연산과 수의 구조

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산은 두 개의 원소를 사용해 새로운 원소를 만들어내기 때문에 이항연산(Binary operation)이라고도 합니다. 같은 집합에 속한 두 수를 투입한 이항연산의 결과가 항상 투입한 집합에 속한다면, 그 이항연산은 해당 집합에 대해 닫혀 있다(Closure)고 합니다.

 

이항연산 성질

• 교환 법칙 : 임의의 두 수 a와 b를 연산할 때 순서에 관계없이 항상 동일한 결과가 나오는 성질
• 결합 법칙 : 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 먼저 계산한 결과가 같은 성질
• 분배 법칙 : 서로 다른 2가지 연산에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙을 만족하면 분배법칙을 만족
• 항등원(Identity) : 임의의 수와의 연산 결과를 항상 동일한 수로 만들어주는 특별한 수

a + (0) = a   //0: 덧셈의 항등원
a * (1) = a   //1: 곱셈의 항등원

• 역원(Inverse) : 임의의 수와 연산 결과를 항상 항등원으로 만들어주는 특별한 수

a + (-a) = 0    //-a: a의 덧셈 역원 (반대수 Opposite number)
a * (1/a) = 1   //1/a: a의 곱셈 역원 (역수 Reciprocal)

 

2. 수의 구조

1. 연산에 대해 닫혀 있다.
2. 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
3. 연산에 대한 항등원이 존재한다.
4. 연산에 대한 역원이 존재한다.
5. 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.
6. 두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.
7. 두 번째 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
8. 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
9. 두 번째 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.
10. 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.
11. 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다 (0은 제외)

11개의 공리를 모두 만족하는 수의 집합을 체(Field)의 구조를 가진다고 표현합니다. 유리수(Q), 실수(R)는 덧셈과 곱셈 두 연산에 대해 11가지 공리를 모두 만족합니다. 뺄셈과 나눗셈은 덧셈과 곱셈의 역원을 사용하면 되므로 수 집합의 구조를 분석할 때는 덧셈과 곱셈의 두 가지 연산에 대해서만 살펴보면 됩니다.

 

3. 수의 표현

완벽한 연속성을 가지는 직선을 만들어 내는 수가 실수(R)이므로 이를 사용해 덧셈과 곱셈 연산을 시각화할 것 입니다.

수직선(Number Line) : 실수를 대응시켜 표현한 직선

• 어떤 수의 원점으로부터의 거리는 수직 막대(Vertical Bar)기호를 써서 나타내는데 이를 절댓값(Absolute value)이라고 합니다
• 덧셈 연산은 점을 평행 이동시키는 작업으로 해석할 수 있습니다
• 곱셈은 원점을 기준으로 점의 위치를 지정된 배율만큼 늘리고 대칭시키는 작업으로 해석할 수 있습니다.

 

함수

함수(Function) : 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관계

 

1. 함수의 개념과 종류

두 집합을 각각 X와 Y라는 기호로 지정하고, 집합 X의 원소를 x, 집합 Y의 원소를 y라고 할 때 X에서 Y로 대응되는 함수를 y=f(x)로 나타냅니다.

 

함수는 두 규칙이 성립되야 합니다.

• 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응관계가 존재해야 합니다.
• 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 합니다.

함수에서 왼쪽에 위치한 첫 번째 집합 X를 정의역(Domain)이라고 하고, 오른쪽에 위치한 두 번째 집합 Y를 공역(Codomain)이라고 합니다.

정의역에 대응되는 공역의 원소만 따로 모아 부분집합을 형성할 수 있는데, 이를 치역(Range)이라고 부릅니다.

• 전사함수(Surjection, Onto) : 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수
• 단사함수(Injection, One-to-One) : 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수
• 전단사함수(Bijection, One-to-One and onto) : 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수

 

2. 합성함수

함수의 합성(Function Composition) : 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산. g∘f 또는 g(f(x))

 

3. 항등함수와 역함수

항등함수(Identity function) : 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수

역함수(inverse Function) : 어떤 함수와 역함수를 합성한 결과는 언제나 항등함수. $f^{-1}$

$(g · f)^{-1} = f^{-1} · g^{-1}$

 

4. 곱집합을 활용한 좌표 평면으로의 확장

곱집합(Cartesian Product, Product Set) : 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합. A×B

두 실수 집합의 곱집합 R×R을 구성하고 함수의 정의역으로 설정해 정의역의 입력요소를 2개로 지정하였다면, 수의 이항연산을 함수로 표현하는 것이 가능합니다. 또한 두 집합을 서로 수직으로 배치하는 곱집합의 성질을 응용하면, 하나의 직선으로 표현한 실수 집합 R을 확정해 두 실수 집합의 곱집합 R×R을 위와 같이 좌표 평면으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

출처 : 이득우의 게임수학, 

https://walll4542developer.github.io/math/Numbers-and-Set/